Définition

\(\triangleright\) Définition de la dimension d'un espace vectoriel

Soit \(E\) un espace vectorielle.
La dimension d'un espace vectoriel est le nombre d'élément contenu dans ce dernier.

Propriétés

\(\triangleright\) Dimension finie

L'espace vectorielle E est dit de dimension finie s'il existe une famille génératrice finie
$$\exists\{u_1,...,u_m\}\subset E$$
$$\text{tel que:}$$
$$E= Vect(u_1,u_2,...,u_m)$$

\(\triangleright\) Dimension non-finie

L'espace \(\Bbb R[X]\) n'est pas de dimension finie \(\longrightarrow\) preuve
Supposon que \(\Bbb R[X]=Vect (P_1(x),....,P_m(x))\) où \(P_i(x)\in \Bbb R[X]\)
\(deg(\lambda_1P_1(x))+...+\lambda_mP_m(x))\leq max(deq(P_1(x)),....,deg(P_m(x)))\)
Si \(N\gt max(...),\,\,\,\,X^N\not \in Vect(...)\)

\(\triangleright\) Théorème sur les sous espace vectoriels de E

Soit \(dim(E)=n\)
Alors

1. Pour tout sous espace vect \(F\subset E\)

\(dim(F)\leq n\)

1. \(F=E\) si et seulement si \(dim(F)=dim(E)=n\)

\(\longrightarrow\) Preuve:

1. Si \(\mathcal{F}\) est libre, elle va aussi être génératice car, sinon, on aurait \(E \neq \operatorname{Vect}(\mathcal{F})\) et il existerait \(u \in E \backslash \operatorname{Vect}(\mathcal{F})\) : la famille \(\mathcal{F} \cup\{u\}\) serait libre par le lemme \(3.2\), ce qui contredit la première assertion du théorème \(3.4\).
2. Si \(\mathcal{F}\) est génératice, elle va aussi être libre car, sinon d'après le lemme 3.1, il existe \(v \in \mathcal{F}\) tel que \(\mathcal{F} \backslash\{v\}\) reste génératrice. Mais alors c'est impossible d'après la deuxième assertion du théorème \(3.4\).

\(\triangleright\) Lien entre interaction et somme de sous espace vectoriel

Soit \(E_1\), \(E_2\) 2 sous-espaces vectoriels de dimension finie
$$dim(E_1+E_2)={{dim(E_1)+dim(E_2)-dim(E_1\cap E_2)}}$$

Exemples

\(\Bbb R^n=Vect(e_1,e_2,....e_n)\)
\(\Bbb R[X]=\{a_0+a_1x+....+a_dx^d|a_i\in \Bbb R\}\)
\(=Vect(1,X,X^2,...,X^d)\)
\(\Bbb [X]=\{a_0,A_1x+.....A_nX^n|a_n\in \Bbb R\neq0\}\)
\(n=deg(P(x))\)